コーシー リーマン の 関係 式。 複素関数論

うさぎでもわかる複素解析 Part2 複素関数の微分可能性とコーシー・リーマンの関係式

関係 式 リーマン の コーシー

f z が z=x+ i y で 全方向 微分可能ならば,特に x 軸方向,y軸方向からも微分可能で,その導関数は同じ f' z となるはずです。 コーシー・リーマンの関係式を制約として今まで捉えてきたのですが、この制約があるからこそまだ見ぬ定義域外をこの関係式を手掛かりに関数を拡張できるのです。

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うさぎでもわかる複素解析 Part2 複素関数の微分可能性とコーシー・リーマンの関係式

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どういうことでしょうか。

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複素関数の微分と積分

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これは実微分可能な関数に対しては成り立たない。

複素関数の微分と積分

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素人を困惑させることが、そんなに楽しいのでしょうか。 すると点 z 0 での f の複素導関数は(以下のような極限が存在すると仮定すれば)次のように定義される。 コイル(誘導性リアクタンス)、コンデンサ(容量性リアクタンス)などによる「位相」の関係を、複素関数を用いて扱うと簡潔に取り扱うことができます。

コーシーリーマンの関係式と微分可能性

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2001 , , in Hazewinkel, Michiel, , , ,• サラスの公式の引く方向に対してマイナスが付くと考えるとコーシー・リーマンの公式でどっちにマイナスが来るかを覚えることができます。

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複素関数論

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よって、 が導かれます。 数学の楽しみは、ものごとをちゃんと考えることにあるので、 あえて話をわかりにくくして「これがロマンだ」みたいな ことを言われても、なんだかなあな印象です。 すなわち1変数関数です。

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複素関数の微分と積分

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それでは証明していきます。

複素関数の微分可能性とコーシー・リーマンの関係式

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関数 f z のはzにおいて2曲線の交差する点において無限小の線分を持ち、それらを f z の対応部分に回転する。 のの分野において、 コーシー・リーマンの方程式(: Cauchy—Riemann equations)は、2つのからなる方程式系であり、連続性と微分可能性と合わせて、がすなわちであるための必要十分条件をなす。 [6] 渦,わき出しのない場の例をあげておきましょう。

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複素関数の微分可能性とコーシー・リーマンの関係式

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, 10 で、nで割り切れることがわかります。 f z を領域 D で定義された複素関数とします。 さらに,領域D のすべての点で微分可能なとき, 「 f z は領域D で微分可能」といい,f' z を f z の 導関数といいます。

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